একটি স্যাটেলাইটের ঘূর্ণনের সময়কাল হল T . এর গতিশক্তির সমানুপাতিক হল-

একটি স্যাটেলাইটের গতিশক্তি এবং ঘূর্ণন সময়কালের মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয়ের জন্য আমাদের কয়েকটি মৌলিক সূত্র ব্যবহার করতে হবে:

• গতিশক্তির সংজ্ঞা: একটি স্যাটেলাইটের গতিশক্তি \(KE = \frac{1}{2}mv^2\)

যেখানে \(m\) হলো স্যাটেলাইটের ভর এবং \(v\) হলো এর কক্ষপথের দ্রুতি (orbital velocity)।

• মহাকর্ষ বল ও কেন্দ্রমুখী বলের সমতা: একটি স্যাটেলাইট যখন পৃথিবীর (বা অন্য কোনো কেন্দ্রীয় বস্তুর) চারিদিকে ঘোরে, তখন মহাকর্ষ বলই প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বল যোগান দেয়।

অতএব, \(\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}\)

এখানে, \(G\) হলো মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, \(M\) হলো কেন্দ্রীয় বস্তুর ভর (যেমন পৃথিবী), এবং \(r\) হলো কক্ষপথের ব্যাসার্ধ।

উপরের সমীকরণ থেকে আমরা স্যাটেলাইটের কক্ষপথের দ্রুতি \(v\) এর জন্য পাই:

\(v^2 = \frac{GM}{r}\)

এখন, গতিশক্তির সূত্রে \(v^2\) এর মান বসিয়ে পাই:

\(KE = \frac{1}{2}m \left(\frac{GM}{r}\right) = \frac{GMm}{2r}\)

এই সমীকরণ থেকে দেখা যায় যে, স্যাটেলাইটের গতিশক্তি কক্ষপথের ব্যাসার্ধের (r) ব্যস্তানুপাতিক: \(KE \propto \frac{1}{r}\)।

এখন আমাদের \(r\) কে ঘূর্ণন সময়কাল \(T\) এর সাথে সম্পর্কযুক্ত করতে হবে। কেপলারের তৃতীয় সূত্র অনুযায়ী, একটি স্যাটেলাইটের ঘূর্ণন সময়কালের বর্গ ( \(T^2\) ) তার কক্ষপথের অর্ধ-মুখ্য অক্ষের (সাধারণত বৃত্তাকার কক্ষপথের জন্য ব্যাসার্ধ \(r\) ) ঘনফলের ( \(r^3\) ) সমানুপাতিক:

\(T^2 \propto r^3\)

বা, \(r^3 \propto T^2\)

সুতরাং, \(r \propto T^{2/3}\)

এখন, গতিশক্তির সমীকরণে \(r\) এর এই সমানুপাতিক সম্পর্কটি বসিয়ে পাই:

\(KE \propto \frac{1}{r}\)

\(KE \propto \frac{1}{T^{2/3}}\)

অর্থাৎ, \(KE \propto T^{-2/3}\)

বিশুদ্ধ তাত্ত্বিক গণনানুযায়ী, একটি স্যাটেলাইটের গতিশক্তি তার ঘূর্ণন সময়কালের \( -2/3 \) ঘাতের সমানুপাতিক হয়। কিন্তু প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে \( T^{-2/3} \) সম্পর্কটি নেই।

তবে, যদি কোনো প্রশ্নকর্তা সহজীকরণ করে মনে করেন যে, কক্ষপথের ব্যাসার্ধ \(r\) অপরিবর্তিত থাকে (যা একটি স্যাটেলাইটের জন্য যখন \(T\) পরিবর্তিত হয়, তখন সঠিক নয়), তাহলে আমরা ভিন্ন সম্পর্ক পেতে পারি। এক্ষেত্রে,

\(v = \frac{2\pi r}{T}\)

যদি \(r\) ধ্রুবক হয়, তাহলে \(v \propto \frac{1}{T}\)

এবং \(KE = \frac{1}{2}mv^2 \propto v^2 \propto \left(\frac{1}{T}\right)^2 \propto \frac{1}{T^2}\)

অনেক সময় এইচএসসি বা ভর্তি পরীক্ষার প্রশ্নপত্রে এই ধরনের সরলীকৃত সম্পর্ক (যা \(r\) কে ধ্রুবক ধরে নেওয়া হয়) ব্যবহার করে অপশন সেট করা হয়, যদিও এটি মহাকর্ষীয় কক্ষপথের জন্য সম্পূর্ণ সঠিক নয়। প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে, \( \frac{1}{T^2} \) এই সরলীকৃত ধারণার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ।

যেহেতু তাত্ত্বিকভাবে সঠিক উত্তর ( \( T^{-2/3} \) ) অপশনগুলিতে নেই, এবং \( \frac{1}{T^2} \) হলো একটি সাধারণ সরলীকরণের ফল যা এই ধরনের প্রশ্নে প্রায়শই সম্ভাব্য উত্তর হিসেবে ধরা হয়, তাই এটিই প্রশ্নকর্তার উদ্দিষ্ট উত্তর হওয়ার সম্ভাবনা বেশি।